1. Black-Scholes 期权定价模型的意义
Black-Scholes 模型以及它的一些变形已被期权交易商、投资银行、金融管理者、保险人等广泛使用。衍生工具的扩展使国际金融市场更富有效率，但也促使全球市场更加易变。新的技术和新的金融工具的创造加强了市场与市场参与者的相互依赖，不仅限于一国之内还涉及他国甚至多国。结果是一个市场或一个国家的波动或金融危机极有可能迅速的传导到其它国家乃至整个世界经济之中。我国金融体制不健全、资本市场不完善，但是随着改革的深入和向国际化靠拢，资本市场将不断发展，汇兑制度日渐完善，企业也将拥有更多的自主权从而面临更大的风险。因此，对规避风险的金融衍生市场的培育是必需的，对衍生市场进行探索也是必要的，我们才刚刚起步。
2. 期权定价的方法
股票期权虽然早在19世纪即已经在美国产生。但是，在1973年前，这种交易都分散在各店头市场进行，交易的品种十分单一，交易的规模也相当有限。在1973年之前所交易的股票期权只有看涨期权，而没有看跌期权。因此，直到1968年，在美国成交的股票期权合约所代表的股票的数量，还只是纽约证券交易所成交股票数量的1%。1937年4月26日，全世界第一个集中性的期权市场——芝加哥期权交易所正式成立。
3. 二叉树定价法
二叉树期权定价模型最早由考克斯（Cox）、罗斯（Ross）和鲁宾斯坦（Rubinstein）(1979年)提出的，他们所依据的原则是无套利原则以及风险中性原则。这个模型有许多优点：它是一个简单模型，易编程，而且能适用于数据量大且复杂的期权定价。它可以多角度地透析期权定价，如果扩展到多时期，二项式模型将成为评估那些未来现金流依赖其他资产市价的期权价值的强有力方法。
二项期权定价模型假设股价波动只有向上和向下两个方向，且假设在整个考察期内，股价每次向上(或向下)波动的概率和幅度不变。模型将考察的存续期分为若干阶段，根据股价的历史波动率模拟出正股在整个存续期内所有可能的发展路径，并对每一路径上的每一节点计算权证行权收益和用贴现法计算出的权证价格。对于美式权证，由于可以提前行权，每一节点上权证的理论价格应为权证行权收益和贴现计算出的权证价格两者较大者。
4. 蒙特卡罗模拟
期权定价的蒙特卡洛方法的理论依据是风险中性定价原理，理论基础是概率论与数理统计，其实质是通过模拟标的资产价格路径预测期权的平均回报并得到期权价格估计值。一般地，期权定价的蒙特卡洛模拟方法包含以下几步（以欧式看涨期权为例）：
- 在风险中性测度下模拟标的资产的价格从初始时刻开始至到期日止的一条随机路径。
- 计算在这条路径下期权的到期回报，并根据无风险利率求得回报的贴现。
- 重复前两步，得到大量期权回报贴现值的抽样样本。
- 求样本均值，得到期权价格的蒙特卡洛模拟值。
5. Black-Scholes期权定价模型
第一个完整的期权定价模型由迈伦·斯克尔斯(Myron Scholes)与费雪·布莱克(Fischer Black)创立并于1973年公之于世。创立和发展的布莱克——斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model)为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础。
5.1 Black-Scholes模型假设
- 证券价格遵循几何布朗运动，在每个小区间内的收益率服从正态分布，且不同的两个区间内相互独立 。在期权有效期内，证券价格的方差和无风险利率为常数。
- 允许卖空，所得资金可以自由使用。
- 没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的
- 在衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付
- 不存在无风险套利机会
- 证券交易是连续的，价格变动也是连续的
- 在衍生证券有效期内，无风险利率为常数
- 欧式期权。欧式期权只能在到期日执行。
5.2 Black-Scholes模型公式
\begin{equation}
\frac{\partial \mathrm C}{ \partial \mathrm t } + \frac{1}{2}\sigma^{2} \mathrm S^{2} \frac{\partial^{2} \mathrm C}{\partial \mathrm C^2}+ \mathrm r \mathrm S \frac{\partial \mathrm C}{\partial \mathrm S}\ =\mathrm r \mathrm C \label{eq:1}
\end{equation}
可以计算出欧式期权的价格
\[C(S,t)= N(d_1)S - N(d_2)Ke^{-rt}\]
\begin{equation}
\mathrm d_1= \frac{1}{\sigma \sqrt{\mathrm t}} \left[\ln{\left(\frac{S}{K}\right)} + t\left(r + \frac{\sigma^2}{2} \right) \right]
\end{equation}
\begin{equation}
\mathrm d_2= \frac{1}{\sigma \sqrt{\mathrm t}} \left[\ln{\left(\frac{S}{K}\right)} + t\left(r - \frac{\sigma^2}{2} \right) \right]
\end{equation}
\begin{equation}
N(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{x} \mathrm e^{-\frac{1}{2}z^2} dz
\end{equation}
C = 期权初始合理价格；
S = 当前股价
K = 期权交割价格
r = 无风险利率（0到1之间的数字）
\(\sigma\) = 股票波动率回报（0和1之间的数字）
t = 期权到期期限（年）
N = 正态累积分布函数
5.3 Black-Scholes期权计算示例
股票现价42元，欧式期权的执行价格为40元，时间为6个月后，无风险利率为每年10%，该股票波动率为每年20%。也就是S=42,K=40,r=0.10,\(\sigma\)=0.20，t=0.5。
带入公式：
\begin{equation}
\mathrm d_1= \frac{1}{0.2 \sqrt{\mathrm 0.5}} \left[\ln{\left(\frac{42}{40}\right)} + 0.5\left(0.10 + \frac{0.2^2}{2} \right) \right]=0.7693
\end{equation}
\begin{equation}
\mathrm d_2= \frac{1}{0.2 \sqrt{\mathrm 0.5}} \left[\ln{\left(\frac{42}{40}\right)} + 0.5\left(0.10 - \frac{0.2^2}{2} \right) \right]=0.6278
\end{equation}
如果该期权为看涨期权，它的C价值为：
\[ C_1= N(0.7693) \times 42 - N(0.6278)\times 40 \times e^{-0.1 \times 0.5} = 4.76 \]
如果该期权为看跌期权，它的C价值为：
\[ C_2= N(-0.6278)\times40\times e^{-0.1\times 0.5}-N(-0.7693)\times 42 = 0.81 \]
